ધારો કે y = y(x) એ વિકલ સમીકરણ (x^2 + 1)^2 fr | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{

Vedclass · Accepted Answer

$1/16$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ છે.$(x^2 + 1)^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + \frac{2x}{x^2 + 1} y = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ મળે છે.આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ અને $Q(x) = \frac{1}{(x^2 + 1)^2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{2x}{x^2 + 1} dx} = e^{\ln(x^2 + 1)} = x^2 + 1$.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q(x) \cdot (I.F.) dx + C$ છે.$y(x^2 + 1) = \int \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \cdot (x^2 + 1) dx + C = \int \frac{1}{x^2 + 1} dx + C$.$y(x^2 + 1) = 	an^{-1}(x) + C$.$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0(0^2 + 1) = 	an^{-1}(0) + C$,જેનો અર્થ છે કે $C = 0$.તેથી,$y(x) = \frac{	an^{-1}(x)}{x^2 + 1}$.આપણને $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ આપેલ છે.$y(1) = \frac{	an^{-1}(1)}{1^2 + 1} = \frac{\pi/4}{2} = \frac{\pi}{8}$.આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\sqrt{a} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{32}$.$\sqrt{a} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.તેથી,$a = (1/4)^2 = 1/16$.

ધારો કે $y = y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 0$ છે. જો $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y = \sin x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x^{2} dy - 2xy dx = x^{4} \cos x dx$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

જો $x \geq 0$ માટે,$y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x+1) dy = ((x+1)^{2} + y - 3) dx$ નો ઉકેલ હોય અને $y(2) = 0$ હોય,તો $y(3)$ ની કિંમત શોધો:

જો $y(t)$ એ $(1 + t)\frac{dy}{dt} - ty = 1$ અને $y(0) = -1$ નો ઉકેલ હોય,તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module